Tecniche di integrazione: sostituzione, per parti e funzioni razionali fratte

Il perimetro delle tecniche note

Le tecniche di sostituzione, per parti e per le funzioni razionali fratte sono strumenti fondamentali, ma non garantiscono sempre di esprimere una primitiva con le sole funzioni elementari. Queste ultime si costruiscono dai rapporti di polinomi combinando operazioni algebriche, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e inverse.

Un'asimmetria del calcolo

La derivata di una funzione elementare è sempre elementare; l'integrale, invece, non sempre lo è. Per esempio, $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+c$ richiede il logaritmo, fuori dal vocabolario delle sole funzioni razionali.

• Sono celebri integrali non elementari $\int e^{x^2}\,dx$, $\int \frac{e^x}{x}\,dx$ e $\int e^{-x^2}\,dx$.
• “Non elementare” non significa “senza primitiva”: per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, una funzione continua come $e^{x^2}$ ammette una primitiva, scrivibile come $F(x)=\int_0^x e^{t^2}\,dt$.
• L'integrale degli errori $\int_a^b e^{-x^2}\,dx$ serve in statistica e fisica sperimentale per la probabilità di un errore di misura compreso tra $a$ e $b$.

Conclusione operativa

Se le tecniche studiate non chiudono il calcolo, non è detto che manchi un passaggio: può mancare una primitiva elementare.