Primitiva e integrale indefinito
Data \(f(x)\), una primitiva è una funzione \(F(x)\) tale che \(F'(x)=f(x)\). L'integrazione è quindi l'operazione inversa della derivazione. Poiché la derivata di una costante è nulla, se \(F\) è primitiva lo sono anche \(F(x)+c\): la costante \(c\) descrive una famiglia infinita di funzioni. L'integrale indefinito raccoglie tutte queste primitive e si scrive \(\int f(x)\,dx=F(x)+c\). Vale la linearità: \(\int[k f(x)+h g(x)]dx=k\int f(x)dx+h\int g(x)dx\), quindi si possono spezzare somme e portare fuori le costanti.
Integrali immediati
Gli integrali immediati si ricavano invertendo le derivate note e vanno conosciuti a memoria:
- \(\int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c\), con \(\alpha\neq -1\);
- \(\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+c\);
- \(\int e^x dx=e^x+c\);
- \(\int \sin x dx=-\cos x+c\) e \(\int \cos x dx=\sin x+c\).
La costante \(c\) e il modulo nel logaritmo sono essenziali; per seno e coseno controlla i segni.
Funzioni composte
Per integrali del tipo \(\int f(g(x))g'(x)dx\) si usa l'integrazione per sostituzione, cioè la sostituzione: poni \(t=g(x)\), calcola \(dt=g'(x)dx\), sostituisci nell'integrale, integra in \(t\) e torna alla variabile \(x\). Dopo la sostituzione non deve restare \(x\). Esempio documentato: \(\int \frac{1}{3x+1}dx=\frac{1}{3}\ln|3x+1|+c\). Alla fine conviene verificare derivando il risultato.