Calcolo di aree di regioni piane e volumi di solidi di rotazione

Aree con l'integrale definito

L'integrale definito misura lo spazio occupato da una figura piana rispetto all'asse X. Se $f(x)$ è positiva su $[a,b]$, l'area coincide con $A=\int_a^b f(x)\,dx$; se è negativa, serve il segno meno: $A=-\int_a^b f(x)\,dx$. Quando la funzione attraversa l'asse X, si spezza l'integrale nei punti di intersezione e si sommano le aree con il segno corretto. Tra due funzioni si calcola sempre 'quella sopra meno quella sotto': $A=\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx$. Il calcolo richiede attenzione al segno e alla posizione della figura.

Media integrale e solidi di rotazione

Il teorema della media integrale afferma che, per $f$ continua su $[a,b]$, esiste almeno un punto $c$ tale che $f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$. Per un solido generato dalla rotazione attorno all'asse X si usa $V_x=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$. Attorno all'asse Y occorre ricavare la funzione inversa $x=f(y)$, integrare rispetto a $y$ e usare $V_y=\pi\int_c^d [f(y)]^2\,dy$.

• Nei volumi non dimenticare $\pi$ e il quadrato della funzione.
• Prima di impostare un'area, controlla segno e intersezioni con l'asse X.