L'idea di integrale definito
L'integrale definito di una funzione continua \(f\) su \([a,b]\) nasce dal calcolo dell'area del trapezoide, la regione compresa tra il grafico, l'asse \(x\) e le rette \(x=a\), \(x=b\). Si approssima con rettangoli costruiti su una partizione: sono le somme di Riemann. Facendo tendere a zero l'ampiezza massima dei sottointervalli, le somme convergono a
Il risultato è un numero reale, non una famiglia di primitive; rappresenta l'area con segno e non dipende dal nome della variabile di integrazione. Per l'area geometrica si usa \(\int_a^b |f(x)|\,dx\).
Proprietà e media
Valgono la linearità, l'additività sull'intervallo e l'inversione degli estremi:
- \(\int_a^b [kf(x)+hg(x)]dx=k\int_a^b f+h\int_a^b g\);
- \(\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\);
- \(\int_a^b f=-\int_b^a f\).
Queste identità semplificano i calcoli. Il teorema della media, per \(f\) continua, garantisce un \(c\in[a,b]\) con \(f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\).
Torricelli-Barrow
Detta \(\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,dt\) la funzione integrale, si ha \(\Phi'(x)=f(x)\). Se \(F\) è una primitiva di \(f\), allora
Questa formula evita le somme infinite e collega derivate e integrali; la continuità di \(f\) è l'ipotesi tipica che rende valide queste affermazioni.