Integrali impropri e applicazioni degli integrali alla fisica

Che cosa rende un integrale improprio

Un integrale definito standard misura un'area su un intervallo finito e con una funzione limitata. Diventa improprio in due situazioni: l'intervallo non è limitato, per esempio da $a$ a $+\infty$, oppure la funzione è illimitata vicino a un punto $c$ dell'intervallo, dove compare un asintoto verticale. Il metodo è sostituire l'estremo problematico con una variabile $k$, calcolare l'integrale tra estremi sicuri e passare al limite. Per $[a,+\infty)$ si usa $\lim_{k\to+\infty}\int_a^k f(x)\,dx$; per l'asintoto in $c$ si usa $\lim_{k\to c^-}\int_a^k f(x)\,dx$.

Convergenza e divergenza

Dopo il calcolo della primitiva e del limite, l'integrale è convergente se il limite è un numero finito, divergente se vale $+\infty$ o $-\infty$, indeterminato se il limite non esiste. Un esempio documentato è $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=1$: l'area infinita in estensione ha misura finita.

Applicazioni alla fisica

• L'integrale accumula grandezze: $v(t)=\int a(t)\,dt$ e $s(t)=\int v(t)\,dt$; per una forza variabile lungo $x$, $L=\int_{x_1}^{x_2}F(x)\,dx$. In fisica la costante di integrazione non è arbitraria: rappresenta le condizioni iniziali, come la velocità $v_0$ a $t=0$.