Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy: ipotesi, tesi, interpretazione geometrica e conseguenze

Fermat e Rolle

Il teorema di Fermat afferma che se una funzione ha un estremo locale in un punto interno $c$ ed è derivabile in $c$, allora $f'(c)=0$: la tangente è orizzontale. Il teorema di Rolle richiede continuità in $[a,b]$, derivabilità in $(a,b)$ e $f(a)=f(b)$; allora esiste $c\in(a,b)$ con $f'(c)=0$. Geometricamente, la tangente in $c$ è parallela alla corda orizzontale che unisce gli estremi.

Lagrange e Cauchy

Il teorema di Lagrange (del valor medio) mantiene continuità in $[a,b]$ e derivabilità in $(a,b)$; esiste $c$ interno tale che $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$ La tangente è parallela alla corda $AB$. Da qui segue che se $f'(x)=0$ su un intervallo, $f$ è costante, e due funzioni con la stessa derivata differiscono per una costante. Il teorema di Cauchy confronta due funzioni continue in $[a,b]$ e derivabili in $(a,b)$, con $g'(x)\neq 0$; esiste $c$ con $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.$ È il motore nascosto del teorema di De L'Hôpital.

Ipotesi e conseguenze

• La derivabilità è richiesta nell'intervallo aperto $(a,b)$.
• La tesi garantisce almeno un punto $c$, non l'unicità.