Derivata di una funzione: definizione come limite del rapporto incrementale, interpretazione geometrica e retta tangente

Dal rapporto incrementale alla derivata

Per una funzione $y=f(x)$, fissiamo $A(c,f(c))$ e un secondo punto $B(c+h,f(c+h))$; la retta $AB$ è una retta secante. Il suo coefficiente angolare è il rapporto incrementale

che misura la variazione media della funzione quando ci si sposta a destra di $h$.

Interpretazione geometrica

Se $h\to 0$, il punto $B$ si avvicina ad $A$ e la secante ruota fino alla retta tangente. La derivata prima in $c$ è il limite del rapporto incrementale:

Geometricamente $f'(c)$ è il coefficiente angolare della tangente in $A$: la derivata descrive quindi la pendenza locale della curva.

Retta tangente

La tangente per $A(c,f(c))$ con pendenza $f'(c)$ ha equazione

Il calcolo segue questi passi:

• determinare dominio e $f(c)$;
• impostare il rapporto incrementale con $f(c+h)$;
• calcolare il limite per $h\to0$ e ottenere $f'(c)$;
• sostituire $c$, $f(c)$ e $f'(c)$ nella formula della retta.

Nell'esempio documentato con $f(x)=x^2$ e $c=3$ si ha $f(3)=9$, $f'(3)=6$ e tangente $y=6x-9$.