Punti di non derivabilità (angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale), differenziale e applicazioni alla fisica

Classificare i punti di non derivabilità

La derivata in $c$ è il coefficiente angolare della tangente e si definisce con il limite del rapporto incrementale: $f'(c)=\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}.$ Se il limite non esiste o è infinito, la funzione può avere un punto di non derivabilità. Per classificarlo si studiano dominio e continuità in $x_0$, si calcola $f'(x)$ e si confrontano i limiti laterali della derivata. La retta tangente può diventare verticale o spezzarsi.

• Punto angoloso: limiti laterali finiti ma diversi, oppure uno finito e uno infinito.
• Cuspide: le pendenze tendono a $+\infty$ e $-\infty$.
• Flesso a tangente verticale: le pendenze tendono a infinito con lo stesso segno e la curva attraversa la tangente verticale.

Differenziale e Fisica

Il differenziale stima la variazione della funzione con la tangente: $dy=f'(x)\,dx$; è un’approssimazione lineare per $dx$ piccolo. In Fisica la derivata rappresenta il tasso di variazione istantaneo: la velocità è $v(t)=s'(t)$, l’accelerazione è $a(t)=v'(t)=s''(t)$ e l’intensità di corrente è $i(t)=q'(t)$. Questo rende la derivata uno strumento comune per passare da una grandezza alla sua variazione istantanea.