Regole di derivazione: derivate fondamentali, somma, prodotto, quoziente, chain rule, derivate di ordine superiore

Derivate fondamentali e regole di base

La derivata misura la pendenza istantanea di una funzione. Le derivate fondamentali vanno memorizzate: $D[k]=0$, $D[x^n]=n x^{n-1}$, $D[e^x]=e^x$, $D[\ln x]=\frac{1}{x}$, $D[\sin x]=\cos x$, $D[\cos x]=-\sin x$. Per somme e differenze si deriva termine per termine: $D[f(x)\pm g(x)]=f'(x)\pm g'(x).$ Per il prodotto non si moltiplicano le derivate: $D[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$

Quoziente, catena e ordini superiori

• Quoziente: $D\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}.$
• Chain rule: per $f(g(x))$ si ha $D[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x),$ derivando prima l’esterno e poi moltiplicando per la derivata dell’interno.
• Ordine superiore: la derivata seconda è la derivata della derivata prima; per esempio $y=x^3$ dà $y'=3x^2$ e $y''=6x$.

Riconoscere la struttura della funzione evita errori: somma, prodotto, quoziente e composizione richiedono regole diverse. La chain rule serve quando una funzione è nascosta dentro un’altra; le derivate successive si ottengono applicando di nuovo le stesse regole. Nello studio di funzione la derivata seconda aiuta a leggere concavità e flessi. Attenzione: la regola del prodotto non è $f'g'$ e quella del quoziente non è $f'/g'$; il numeratore del quoziente contiene una sottrazione e il denominatore è $[g(x)]^2$.