Teorema di De l'Hôpital: applicazione alle forme indeterminate 0/0 e infinito/infinito con esempi

Quando usare De l'Hôpital

Il Teorema di De l'Hôpital serve a calcolare limiti che, per sostituzione diretta, producono una forma indeterminata del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. La forma indeterminata segnala che la sostituzione non basta. Il teorema richiede che numeratore $f(x)$ e denominatore $g(x)$ siano derivabili e che $g'(x)\neq 0$ vicino al punto del limite. Se le condizioni valgono:

Attenzione: si derivano separatamente numeratore e denominatore; non si applica la regola del quoziente.

Procedimento ed esempi

1. Sostituisci il valore di $x$ e riconosci la forma indeterminata.
2. Deriva solo il numeratore e solo il denominatore.
3. Riscrivi il limite con le derivate e sostituisci di nuovo.

• Per $\lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$, la forma è $\frac{0}{0}$; derivando si ottiene $\lim_{x \to 2}\frac{2x}{1}=4$.
• Per $\lim_{x \to \infty}\frac{3x^2-5x+2}{7x^2-x+9}$, applicando due volte De l'Hôpital si arriva a $\lim_{x \to \infty}\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$.

Il teorema può essere applicato più volte se la forma indeterminata persiste. Il calcolo va ripetuto soltanto se il nuovo limite presenta ancora una forma indeterminata. Conviene sempre verificare le condizioni e confrontare il risultato con metodi algebrici noti.