Contrazione delle lunghezze e trasformazioni di Lorentz: lunghezza propria, contrazione di Lorentz-FitzGerald (L=L₀/γ), trasformazioni di Lorentz e il fattore γ

Lunghezza propria e contrazione

In relatività ristretta lo spazio non è assoluto. La lunghezza propria $L_0$ è misurata da un osservatore in quiete rispetto all'oggetto; la lunghezza contratta $L$ è misurata da chi vede l'oggetto muoversi lungo la direzione del moto. Vale $L = \frac{L_0}{\gamma}$ con $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$. Poiché $v<c$, si ha $\gamma \ge 1$ e quindi $L \le L_0$: l'oggetto appare più corto. Esempio: per $L_0 = 100\,m$ e $v=0.6c$, $\gamma=1.25$ e $L=80\,m$.

Trasformazioni di Lorentz

Per passare dal sistema $S$ a $S'$ in moto lungo l'asse $x$ con velocità $v$, spazio e tempo si mescolano:

• $x' = \gamma (x - vt)$
• $t' = \gamma \left( t - \frac{v}{c^2}x \right)$
• $y'=y$ e $z'=z$.

Questo sostituisce le trasformazioni di Galileo, che assumevano $t=t'$. La velocità della luce è $c = 3 \times 10^8\,m/s$. Il termine $\frac{v}{c^2}x$ mostra che la simultaneità è relativa. Attenzione: $\gamma$ si divide nella contrazione e si moltiplica nelle trasformazioni.