Funzioni continue: definizione, punti di discontinuità (prima, seconda e terza specie), teoremi di Weierstrass, Darboux e Bolzano

Continuità in un punto

Una funzione $f$ è continua in $x_0$ se il limite per $x \to x_0$ esiste finito e coincide con $f(x_0)$: $\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0).$ Servono quindi tre condizioni: $f(x_0)$ è definito; il limite bilatero esiste finito; i due valori coincidono. Se una fallisce, $x_0$ è punto di discontinuità.

Le tre specie

• Prima specie: i limiti laterali sono finiti ma distinti; il grafico presenta un salto.
• Seconda specie: almeno un limite laterale è infinito oppure non esiste come numero finito.
• Terza specie, o eliminabile: il limite bilatero è finito, ma $f(x_0)$ non esiste o è diverso da quel limite.

Teoremi fondamentali

Se $f$ è continua su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, il teorema di Weierstrass garantisce che assume massimo e minimo. Il teorema di Bolzano afferma che, se $f(a)\cdot f(b)<0$, esiste almeno un $c \in (a,b)$ con $f(c)=0$. Il teorema di Darboux assicura che una funzione continua assume tutti i valori intermedi tra due valori assunti. Le ipotesi sono essenziali: su un intervallo aperto Weierstrass può non valere.