Algebra dei limiti, forme indeterminate e limiti notevoli: operazioni sui limiti, le 7 forme indeterminate, sin(x)/x, (1+1/x)^x, infinitesimi e infiniti

Operazioni e forme indeterminate

L'algebra dei limiti consente di calcolare il limite di somme e prodotti sommando o moltiplicando i limiti, quando questi esistono. In molti esercizi conviene partire dalla sostituzione diretta: se compare una forma indeterminata, il risultato non è ancora determinato. Le sette forme sono $+\infty-\infty$, $0\cdot\infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0^0$, $\infty^0$ e $1^\infty$.

Tecniche risolutive

Per $\frac{0}{0}$ con polinomi si scompone e si semplifica il fattore che annulla numeratore e denominatore. Per $\frac{\infty}{\infty}$ si mette in evidenza la potenza massima; con i polinomi vale la regola dei gradi: numeratore maggiore dà $\infty$, minore dà $0$, gradi uguali danno il rapporto dei coefficienti massimi.

• Limite notevole trigonometrico: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$.
• Limite notevole esponenziale: $\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$; è centrale per $1^\infty$.
• Gerarchia degli infiniti: $\log_a x \ll x^n \ll a^x$, con $a>1$ e $n>0$.

Questi strumenti permettono di riconoscere rapidamente la forma e scegliere la tecnica adatta; è però essenziale ricontrollare i passaggi e non confondere un risultato non determinato con un limite inesistente.