Concetto di limite: intorni, punti di accumulazione, definizione intuitiva e formale (epsilon-delta) dei 4 casi, teoremi fondamentali (unicità, permanenza del segno, confronto)

Intorni e punti di accumulazione

Un intorno circolare di $x_0$ è $I(x_0)=(x_0-\delta,x_0+\delta)$, con raggio $\delta>0$. Un punto $x_0$ è di accumulazione per il dominio $D$ se ogni suo intorno contiene infiniti punti di $D$; $x_0$ può appartenere o no a $D$. Il limite si studia solo nei punti di accumulazione: la funzione può non essere definita in $x_0$, come $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ in $0$.

Definizione e casi

Per $\lim_{x\to x_0} f(x)=l$ la definizione formale è

I quattro casi collegano $x$ e $f(x)$: finito/finito, infinito/finito (asintoto verticale $x=x_0$), finito/infinito (asintoto orizzontale $y=l$), infinito/infinito (possibile asintoto obliquo).

Teoremi

• Unicità: se il limite esiste, è unico.
• Permanenza del segno: se $l>0$, allora $f(x)>0$ in un intorno di $x_0$.
• Confronto: se $h(x)\le f(x)\le g(x)$ e $h,g\to l$, allora anche $f\to l$.