Asintoti verticali, orizzontali e obliqui e grafico probabile di una funzione

Scheletro del grafico

Lo studio di una funzione è un'indagine: prima si raccolgono indizi, poi si disegna il grafico probabile. Per una funzione razionale fratta:

• Dominio: il denominatore deve essere diverso da zero, $D(x)\neq 0$.
• Intersezioni: asse $y$ con $x=0$; asse $x$ con $y=0$.
• Segno: si risolve $f(x)>0$ per capire dove il grafico sta sopra o sotto l'asse $x$.

Asintoti

Gli asintoti sono rette a cui il grafico si avvicina. L'asintoto verticale si cerca nei punti esclusi dal dominio: se $\lim_{x \to x_0} f(x)=\infty$, la retta è $x=x_0$. L'asintoto orizzontale nasce da $\lim_{x \to \infty} f(x)=l$ finito, con retta $y=l$. L'asintoto obliquo ha forma $y=mx+q$, con $m=\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ e $q=\lim_{x \to \infty}[f(x)-mx]$; occorre $m$ finito e non nullo.

Esempio

Per $f(x)=\frac{2x-4}{x-1}$: dominio $x\neq 1$; intersezioni $(0,4)$ e $(2,0)$; segno positivo per $x<1$ o $x>2$. Si trovano l'asintoto verticale $x=1$ e l'orizzontale $y=2$; in questo caso non si cerca l'obliquo. Grafico probabile significa una traccia coerente, non un disegno esatto punto per punto.