Trigonometria: angoli e misura in radianti, funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente), identità fondamentale, formule di addizione e sottrazione, duplicazione e bisezione, formule parametriche, Werner e prostaferesi

Angoli e misura in radianti

In trigonometria gli angoli si misurano in radianti: un radiante sottende un arco di lunghezza pari al raggio. Un giro completo vale $2\pi$ radianti, cioè $360^\circ$; per convertire si usa $\frac{\alpha^\circ}{180^\circ}=\frac{\alpha_{rad}}{\pi}$. I radianti sono adimensionali. Sulla circonferenza goniometrica di raggio 1, le coordinate di un punto individuato da $x$ sono $\cos(x)$ e $\sin(x)$.

Funzioni e identità fondamentale

• Seno e coseno hanno dominio $\mathbb{R}$ e codominio $[-1,1]$.
• Tangente: $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, definita per $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$, con $k\in\mathbb{Z}$; il codominio è $\mathbb{R}$.
• Identità fondamentale: $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$; da essa seguono $\sin(x)=\pm\sqrt{1-\cos^2(x)}$ e $\cos(x)=\pm\sqrt{1-\sin^2(x)}$, scegliendo il segno secondo il quadrante. Per esempio, nel secondo quadrante $\sin(x)$ è positivo e $\cos(x)$ negativo.

Formule notevoli

Le formule di addizione e sottrazione calcolano $\sin(\alpha\pm\beta)$ e $\cos(\alpha\pm\beta)$; le funzioni goniometriche non sono lineari, quindi $\sin(x+y)\neq\sin(x)+\sin(y)$. Da esse derivano duplicazione, bisezione, parametriche con $t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$, prostaferesi che trasforma somme in prodotti e Werner che trasforma prodotti in somme. Le formule di bisezione presentano anch'esse un segno da determinare. Le formule di prostaferesi sono utili per semplificare equazioni.