Triangolo generico e formule: teorema dei seni, teorema del coseno (Carnot), area con formula di Erone, raggi delle circonferenze inscritte e circoscritte, teorema della corda

Strumenti per un triangolo qualsiasi

In un triangolo di lati $a,b,c$ e angoli opposti $\alpha,\beta,\gamma$, il teorema dei seni stabilisce $\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$. Il teorema del coseno (Carnot) generalizza Pitagora: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$. Per scegliere, esamina i dati: con due angoli e un lato, oppure due lati e l’angolo opposto a uno di essi, conviene il teorema dei seni; con tre lati, o due lati e l’angolo compreso, conviene Carnot. Questi strumenti valgono anche quando il triangolo non è rettangolo.

Area, raggi e corda

L’area con due lati e l’angolo compreso è $S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$; con i soli tre lati si usa la formula di Erone, $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, dove $p$ è il semiperimetro. Il raggio inscritto è $r=S/p$. Il teorema dei seni esteso dà $\frac{a}{\sin\alpha}=2R$, con $R$ raggio della circonferenza circoscritta. Ogni lato del triangolo è una corda della circonferenza circoscritta. Il teorema della corda afferma $L=2R\sin\alpha$.

• Controlla prima quali elementi sono noti.
• In Erone usa $p$, non il perimetro intero.
• Distingui $R$ (circoscritta) da $r$ (inscritta).