Triangolo rettangolo: teoremi sui triangoli rettangoli, risoluzione, formule dirette (cateto, ipotenusa), applicazioni pratiche

Teoremi fondamentali

In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è $a$, i cateti $b$ e $c$; gli angoli acuti $\beta$ e $\gamma$ sono complementari, dunque $\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$. Il primo teorema esprime un cateto tramite l'ipotenusa: $b=a\sin\beta=a\cos\gamma$ e $c=a\sin\gamma=a\cos\beta$. Il secondo teorema collega i cateti usando la tangente o la cotangente: $b=c\tan\beta=c\cot\gamma$ e $c=b\tan\gamma=b\cot\beta$.

Risoluzione

Risolvere un triangolo significa determinare lati e angoli da dati sufficienti, con almeno un lato. Prima si controllano le condizioni di esistenza: lati positivi e angoli acuti. Se manca un angolo acuto si usa la complementarità; con due lati si può applicare il teorema di Pitagora; con un lato e un angolo si usano le formule dirette; per ricavare un angolo dai lati si usano le funzioni inverse, come $\beta=\arcsin\left(\frac{b}{a}\right)$ o $\beta=\arctan\left(\frac{b}{c}\right)$.

Applicazioni

• In fisica la trigonometria serve, per esempio, a scomporre forze su un piano inclinato.
• In topografia consente calcoli di altezze inaccessibili.
• L'area può essere scritta come $Area=\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}a^2\sin\beta\cos\beta$.