Proprietà delle funzioni: iniettività, suriettività, parità, disparità, periodicità, funzione inversa e funzione composta

Simmetrie e periodicità

Una funzione pari verifica $f(-x)=f(x)$ e ha grafico simmetrico rispetto all'asse $y$; una funzione dispari verifica $f(-x)=-f(x)$ e ha simmetria centrale rispetto all'origine. Per controllare parità o disparità si parte dal dominio: se non è simmetrico rispetto allo zero, la funzione non può essere né pari né dispari; poi si sostituisce $-x$ e si confronta con l'espressione iniziale. Una funzione periodica soddisfa $f(x+T)=f(x)$ e $T$ è il periodo minimo, cioè la larghezza dopo cui il grafico si ripete.

Iniettività, suriettività e inversa

Una funzione è iniettiva se $f(x_1)=f(x_2)$ implica $x_1=x_2$; è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. Se è sia iniettiva sia suriettiva è biiettiva e possiede la funzione inversa $f^{-1}$: $f(x)=y \iff f^{-1}(y)=x$. Il simbolo $f^{-1}(x)$ non indica $\frac{1}{f(x)}$.

Composizione

• La funzione composta $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ incastra due funzioni: l'uscita di $g$ diventa l'ingresso di $f$. L'ordine conta: in generale $f\circ g$ è diverso da $g\circ f$.