Funzioni reali di variabile reale: definizione, dominio, codominio, classificazione (algebriche e trascendenti) e grafico

Definizione e classificazione

Una funzione reale di variabile reale associa a ogni $x$ del dominio un unico $y=f(x)$. Il dominio (o campo di esistenza) contiene i valori di $x$ per cui l'espressione ha senso; il codominio è l'insieme di arrivo dei valori $y$. Le funzioni si dividono in algebriche (razionali intere, razionali fratte, irrazionali) e trascendenti (esponenziali, logaritmiche, goniometriche).

Dominio e grafico

Per il dominio usa tre regole: denominatore $D(x) \neq 0$; radice di indice pari $R(x) \geq 0$; logaritmo $A(x)>0$. Se ci sono più condizioni, vanno a sistema. Le radici di indice dispari non impongono restrizioni.

• Simmetrie: calcola $f(-x)$; se $f(-x)=f(x)$ la funzione è pari (asse $y$), se $f(-x)=-f(x)$ è dispari (origine).
• Intersezioni: con l'asse $y$ poni $x=0$; con l'asse $x$ poni $y=0$.
• Segno: risolvi $f(x) \geq 0$ per sapere dove il grafico sta sopra o sotto l'asse $x$.

Esempio

Per $f(x)=\frac{x^2-4}{x-1}$ il dominio è $(-\infty,1) \cup (1,+\infty)$; non è pari né dispari; interseca l'asse $y$ in $(0,4)$ e l'asse $x$ in $(2,0)$ e $(-2,0)$. Tutto questo prepara la costruzione del grafico, ma non sostituisce gli altri passi dello studio di funzione.