Determinazione del dominio e del segno di una funzione con esempi svolti

Dominio: dove la funzione esiste

Il dominio (o campo di esistenza) è l'insieme dei valori di $x$ per cui $f(x)$ è definita. Per un polinomio come $f(x)=x^2+3x-1$, il dominio è $\mathbb{R}$. Le condizioni fondamentali sono:

• denominatori non nulli: $D(x)\neq 0$;
• radicandi di radici pari non negativi: $R(x)\geq 0$;
• argomenti dei logaritmi strettamente positivi: $A(x)>0$.

Per esempio, $f(x)=e^{x-1}$ è definita su $\mathbb{R}$ ed è sempre positiva.

Intersezioni e segno

Le intersezioni con gli assi si trovano con i sistemi $\begin{cases} y=f(x)\\ x=0 \end{cases}$ per l'asse $y$ e $\begin{cases} y=f(x)\\ y=0 \end{cases}$ per l'asse $x$. Conviene procedere prima con il dominio, poi con le intersezioni e infine con il segno. Lo studio del segno risolve $f(x)>0$ e costruisce il grafico dei segni: dove $f$ è positiva si cancella la parte sotto l'asse $x$, dove è negativa quella sopra.

Esempio svolto

Per $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$ il denominatore impone $x\neq -1$, quindi $D=(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$. Le intersezioni sono $A(0,-2)$ e $B(2,0)$. Lo studio di $\frac{x-2}{x+1}>0$ dà $f$ positiva per $x<-1$ e $x>2$, negativa tra $-1$ e $2$. Il grafico probabile ha un asintoto verticale in $x=-1$: la funzione non esiste lì e il grafico si avvicina a quella retta senza attraversarla.