Variabili casuali discrete: valore medio, varianza, distribuzione binomiale e distribuzione di Poisson

Variabili casuali discrete

Una variabile casuale discreta $X$ assume valori numerici legati all’esito di un esperimento casuale. Ogni valore $x_i$ ha probabilità $p_i$; perché il modello sia valido servono $0 \leq p_i \leq 1$ e $\sum p_i=1$. Il valore medio è $E(X)=\sum x_i p_i$; la varianza misura la dispersione: $Var(X)=\sum (x_i-E(X))^2 p_i$, oppure $Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$. La deviazione standard è $\sigma=\sqrt{Var(X)}$.

Binomiale e Poisson

La distribuzione binomiale richiede $n$ prove fisse e indipendenti, con due soli esiti: successo con probabilità $p$ e insuccesso con $q=1-p$. Per $k$ successi: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$, con $E(X)=np$ e $Var(X)=npq$. La distribuzione di Poisson conta eventi rari in un intervallo continuo, senza un numero fisso di prove, con parametro $\lambda$: $P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$; qui $E(X)=Var(X)=\lambda$.

• Riconosci il modello prima di calcolare.
• Scrivi i parametri e applica una formula alla volta.
• Usa la formula alternativa della varianza per abbreviare i conti.

In un esercizio, verifica le condizioni, definisci $n,p,q$ oppure $\lambda$, sostituisci i valori e calcola coefficiente, potenze e risultato. La binomiale non va usata quando manca $n$; la Poisson si adatta a conteggi su tempo, spazio o lunghezza.