Variabili casuali continue: funzione di densità, distribuzione uniforme e distribuzione normale (gaussiana) con uso delle tavole

Variabili continue e densità

Una variabile casuale continua può assumere qualsiasi valore reale in un intervallo; la probabilità di un valore esatto è zero. Si calcola quindi la probabilità su un intervallo tramite la funzione di densità $f(x)$: l'area sottesa è la probabilità. Valgono $f(x)\ge 0$ e $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx=1$; inoltre $P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx$.

Uniforme e normale

La distribuzione uniforme su $[a,b]$ ha densità costante $f(x)=\frac{1}{b-a}$ nell'intervallo, con $E(X)=\frac{a+b}{2}$ e $Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$. La distribuzione normale, o Gaussiana, $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ha forma a campana, simmetrica attorno a $\mu$, con densità $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$.

Standardizzazione e tavole

Per usare le tavole si passa a $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$, con $Z\sim N(0,1)$. Le tavole danno $P(Z\le z)$; per code e intervalli si usa il complementare o la differenza:

• $P(Z>z)=1-P(Z\le z)$;
• $P(Z\le -z)=1-P(Z\le z)$;
• $P(a\le Z\le b)=P(Z\le b)-P(Z\le a)$.