Legge dei grandi numeri e cenni alla teoria dei giochi

Dalla frequenza alla probabilità

La Legge dei Grandi Numeri riguarda il comportamento di molte prove ripetute nelle stesse condizioni. Distinguiamo la probabilità teorica $p$, attesa matematicamente, dalla frequenza relativa $f_n$, osservata dopo $n$ prove. Il Teorema di Bernoulli (legge debole dei grandi numeri) afferma che, fissato $\varepsilon>0$, la probabilità che $f_n$ sia vicina a $p$ tende a $1$:

In pratica, con pochi lanci la frequenza può discostarsi molto; con moltissimi lanci diventa vicinissima a $p$. L'equilibrio emerge su molti lanci, non sul singolo esito.

Indipendenza e fallacia dello scommettitore

La legge non impone compensazioni immediate. Se gli eventi sono indipendenti vale $P(A \cap B)=P(A)P(B)$; la moneta non ha memoria. Credere che un numero ritardatario debba uscire è la fallacia dello scommettitore: ogni estrazione conserva la stessa probabilità.

Speranza matematica

• La Teoria dei Giochi usa la speranza matematica $E(X)=\sum x_i p_i$ per valutare un gioco. Se $E(X)=0$ è equo, se $E(X)>0$ è favorevole, se $E(X)<0$ è sfavorevole. Nel caso del biglietto da $2$ euro con vincita netta $10$ euro e $p=\frac{1}{10}$, $E(X)=10\cdot\frac{1}{10}-2\cdot\frac{9}{10}=-0.8$: il gioco è sfavorevole.