Permutazioni semplici e con ripetizione: definizione, formula n!, permutazioni con elementi ripetuti, anagrammi

Permutazioni semplici

Nel calcolo combinatorio una permutazione è un modo di mettere in fila tutti gli elementi disponibili, usando ogni elemento una sola volta: non avanza nulla e l'ordine conta. Per $n$ oggetti distinti il numero di permutazioni è $P_n=n!$, dove $n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1$. Per esempio, $3!=3\cdot2\cdot1=6$; inoltre $0!=1$ e $1!=1$. Se le lettere di ROMA sono tutte diverse, i suoi anagrammi sono $4!=24$.

Ripetizioni e anagrammi

Quando alcuni elementi sono identici, scambiarli non produce un ordinamento nuovo. Si usa allora $P=\frac{n!}{q_1!q_2!\cdots}$ con $n$ totale degli elementi e $q_i$ frequenze delle copie identiche. Per MAMMA: $n=5$, la M compare $3$ volte e la A $2$ volte, quindi $P=5!/(3!2!)=10$. Un elemento che compare una sola volta ha $q=1$; poiché $1!=1$, può essere omesso dal denominatore. Gli anagrammi sono permutazioni delle lettere: per MATEMATICA si ha $10!/(2!3!2!)=151200$. La stessa formula conta anche allineamenti di oggetti uguali.

• contare tutti gli elementi;
• elencare le ripetizioni;
• dividere per i fattoriali delle frequenze.