Combinazioni semplici e con ripetizione: definizione, coefficiente binomiale C(n,k), proprietà, triangolo di Tartaglia, formula combinazioni con ripetizione

Che cosa sono le combinazioni

Le combinazioni semplici si usano quando l'ordine non conta e gli elementi non si ripetono. Dati $n$ elementi distinti, si formano gruppi di $k$ elementi; una macedonia con gli stessi frutti in ordine diverso resta la stessa scelta. La differenza rispetto alle disposizioni è che qui non si contano i diversi ordini: contano solo quali elementi vengono scelti. Per esempio, nel Lotto un terno non cambia se i tre numeri escono in un ordine diverso. Il numero di combinazioni semplici è $C_{n,k}=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ con $n$ e $k$ naturali e $n\geq k\geq 0$.

Proprietà e Triangolo di Tartaglia

• Simmetria: $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.
• Formula di Stifel: $\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}$.

Il Triangolo di Tartaglia ha bordi uguali a $1$; ogni interno è la somma dei due numeri sopra. La riga $n$-esima contiene $\binom{n}{k}$ per $k=0,\dots,n$. La formula del Binomio di Newton è $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

Combinazioni con ripetizione

Se l'ordine non conta ma gli elementi possono ripetersi, si usa $C'_{n,k}=\binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$. Qui $k$ può anche superare $n$, come scegliere più palline di gelato dello stesso gusto; non vale quindi la condizione $n\geq k$ delle combinazioni semplici.