Disposizioni semplici e con ripetizione: definizione, formule (D_{n,k} e D'_{n,k}), differenza tra disposizioni e permutazioni, esempi pratici

Quando l’ordine conta

Le disposizioni semplici si usano quando l’ordine conta e gli elementi non si ripetono. Con $n$ oggetti distinti e $k$ scelte, con $k \le n$, si ha $D_{n,k}=n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$. La condizione $k \le n$ evita di scegliere più oggetti distinti di quelli disponibili. Esempio documentato: con $9$ cifre diverse e gruppi da $3$, $D_{9,3}=9\cdot8\cdot7=504$.

Ripetizione e permutazioni

Nelle disposizioni con ripetizione ogni posizione può riusare tutti gli $n$ elementi: $D'_{n,k}=n^k$; qui $k$ può superare $n$. Lanciando una moneta $10$ volte: $D'_{2,10}=2^{10}=1024$. Le permutazioni sono il caso $n=k$: $P_n=D_{n,n}=n!$. Con $5$ libri tutti diversi: $P_5=5!=120$. La differenza chiave è che le disposizioni scelgono una parte degli elementi, mentre le permutazioni li prendono tutti e li ordinano.

Metodo di risoluzione

• Individua $n$ e $k$.
• Chiediti se l’ordine conta.
• Verifica se sono ammesse ripetizioni.
• Se $n=k$, riconosci una permutazione.

Per i codici misti, calcola separatamente le parti e moltiplica i risultati. Il calcolo combinatorio richiede di controllare prima queste condizioni, non di applicare una formula a caso.