Distribuzione normale e statistica bivariata: curva di Gauss, proprietà, regola empirica 68-95-99.7, standardizzazione (z-score), covarianza, regressione lineare e coefficiente di correlazione r di Pearson

Curva di Gauss

La distribuzione normale, o curva di Gauss, descrive molti fenomeni naturali con una forma a campana. È simmetrica rispetto al centro; il punto più alto coincide con media $\mu$, moda e mediana; non tocca l'asse delle $x$ e ha area totale $1$. La forma dipende da $\mu$, che sposta il centro, e da $\sigma$, che misura la dispersione: se $\sigma$ è grande, la campana è bassa e larga. La regola empirica 68-95-99.7 afferma che circa il $68\%$ dei dati sta tra $\mu-\sigma$ e $\mu+\sigma$, il $95\%$ tra $\mu-2\sigma$ e $\mu+2\sigma$, il $99.7\%$ tra $\mu-3\sigma$ e $\mu+3\sigma$.

Standardizzazione e statistica bivariata

La standardizzazione usa $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ con $\sigma>0$; $z$ indica quante deviazioni standard separano $x$ dalla media. La covarianza misura se due variabili si muovono nella stessa direzione, ma dipende dalle unità di misura. Il coefficiente di correlazione di Pearson $r=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$ è compreso tra $-1$ e $1$. La retta di regressione $y=a+bx$ ha $b=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X^2}$ e $a=\bar{y}-b\bar{x}$.

• Correlazione descrive quanto è forte il legame lineare.
• Regressione permette di prevedere $y$ conoscendo $x$.