Probabilità condizionata ed eventi indipendenti: definizione P(A|B), formula, eventi indipendenti, probabilità composta, formula di Bayes e applicazioni

Probabilità condizionata

La probabilità condizionata $P(A|B)$ misura la probabilità di $A$ sapendo che $B$ si è già verificato; richiede $P(B)>0$ e restringe lo spazio campione ai soli casi in cui $B$ è vero. La formula è $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ dove $P(A\cap B)$ è la probabilità dell'intersezione. Esempio: con un dado, se so che è uscito un numero pari, la probabilità che sia $2$ è $\frac{1}{3}$.

Composta e indipendenza

Dalla formula segue la probabilità composta $P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B).$ Due eventi sono indipendenti se $P(A|B)=P(A)$; allora $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$ Attenzione:

• eventi incompatibili hanno intersezione vuota e $P(A\cap B)=0$;
• eventi indipendenti possono accadere insieme e non si influenzano.

Bayes

La formula di Bayes permette di passare dall'effetto osservato alla causa: $P(C_1|E)=\frac{P(E|C_1)\cdot P(C_1)}{P(E)}.$ Il denominatore $P(E)$ si ottiene con la probabilità totale, sommando i percorsi di un diagramma ad albero. La probabilità a priori riguarda la causa prima dell'osservazione; quella a posteriori è $P(C_1|E)$. Nel problema delle urne, se una pallina bianca può venire da due urne, Bayes aggiorna la probabilità iniziale della causa.