Probabilità classica, frequentista e assiomatica: spazio campionario, eventi, definizione di Laplace, approccio frequentista, assiomi di Kolmogorov, probabilità totale e contraria

Spazio campionario ed eventi

Un esperimento aleatorio ha esito incerto. Lo spazio campionario $\Omega$ raccoglie tutti i risultati possibili; un evento $E$ è un sottoinsieme di $\Omega$ e può contenere uno o più risultati. I risultati devono essere distinti e coprire tutti gli esiti. Per esempio, con un dado a sei facce, $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ e l’evento “numero pari” è $E=\{2,4,6\}$.

Dalla probabilità classica agli assiomi

La definizione di Laplace vale per esiti equiprobabili: $P(E)=\frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}$. Richiede quindi che tutti i casi possibili abbiano la stessa possibilità; non si applica direttamente a un dado truccato. Gli assiomi di Kolmogorov stabiliscono le regole: $0 \leq P(E) \leq 1$, $P(\Omega)=1$ e l’additività per eventi incompatibili. Da qui segue l’evento contrario: $P(\overline{E})=1-P(E)$.

• Per eventi compatibili: $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$, perché l’intersezione va sottratta.
• Per eventi incompatibili: $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$, poiché $P(A \cap B)=0$.

Approccio frequentista

Quando gli esiti non sono equiprobabili, si usa la frequenza relativa $F_r=\frac{k}{N}$. La legge empirica del caso suggerisce che, per $N \to \infty$, $F_r$ tende alla probabilità teorica: $P(E) \approx \lim_{N \to \infty} \frac{k}{N}$. La stima diventa più affidabile con molte prove, ma resta un’approssimazione. Per esempio, $620$ successi su $1000$ prove danno una stima di circa $0,62$.