Il progetto logicista
Bertrand Russell sostiene il logicismo, il progetto di ricondurre la matematica alla logica: i concetti matematici dovrebbero essere espressi attraverso nozioni e regole logiche. L’obiettivo è fondare la matematica su basi razionali. In questa prospettiva, Russell impiega il concetto di classe per definire nozioni matematiche senza assumerle come primitive.
Con Alfred North Whitehead sviluppa il progetto nei Principia Mathematica, opera concepita per costruire la matematica a partire da principi logici. La riduzione perseguita non consiste nel negare l’importanza della matematica, ma nel mostrarne la fondazione logica.
Il paradosso e la teoria dei tipi
Il paradosso di Russell mette in luce una contraddizione connessa alle classi e all’autoreferenza. Il paradosso del barbiere ne offre un’illustrazione: il barbiere rade tutti e soltanto gli uomini che non si radono da soli. Se si rade, la regola sembra escluderlo; se non si rade, la regola sembra includerlo.
- La teoria dei tipi ordina gli oggetti logici in livelli, come individui, classi di individui e classi di classi.
- Distinguere i livelli impedisce di combinarli impropriamente e mira a evitare contraddizioni.
Questa strategia, pur affrontando il problema, rende il sistema logico più complesso. Il confronto tra logicismo e paradosso mostra così sia l’ambizione fondativa di Russell sia le difficoltà di una formalizzazione rigorosa.